I) Traction et compression simple :
1) Définition de la traction :
Une poutre est sollicitée à la traction simple, lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à l'allonger.
2) Définition de la compression :
Une poutre est sollicitée à la compression simple,
lorsqu'elle est soumise à deux forces directement opposées qui tendent à
la raccourcir.
3) Contrainte normale dans une section droite:
Soit une poutre de section droite constante S, dont on néglige le poids, elle est soumise à deux forces extérieures directement opposées :
Effectuons une coupe par une section droite (S) et isolons le tronçon (g) situé à gauche de (S).
Le tronçon est soumis :
- à la force extérieure F;
- aux forces intérieures de cohésion Δf représentant l'action du tronçon (d) sur le tronçon (g). Les forces Δf agissent sur des surfaces élémentaires ΔS de section S. On appelle la contrainte le rapport :
L'équilibre du tronçon (g) donne :
Projection sur Ox (axe normal à la section droite :
-N + ΣΔfn = 0 avec N=F et Δfn= Δf = σ x ΔS
σ : c'est la projection de t sur Ox , elle est appelée Contrainte normale.
donc : -N + Σσ x ΔS = 0 (dans le cas de traction et compression : σ = cte)
d'où : -N + σΣΔS = 0 ==> σ= N/S avec ΣΔS = S N en(N) ; S en (mm²) ; σ en (N/m)
4) Essai de traction :
Cet essai permet de déterminer certaines caractéristiques mécaniques des matériaux. Il consiste à soumettre une éprouvette dans la machine de traction à un effort axial F croissant progressivement et ce jusqu'à la rupture. Un dispositif permet d'enregistrer le diagramme de l'allongement Δl de l'éprouvette, en fonction de F
So = 78mm² section initiale ( Ø =10mm).
lo = 100mm longueur initiale entre repères.
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Diagramme de Ɛ en fonction de σ
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Diagramme de Δl en fonction de F
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b) Interprétation du diagramme :
1°- Dans la zone OB qui est rectiligne, on remarque que l'allongement est très petit et proportionnel aux charges. Cette zone c'est la période des déformations élastiques. En effet, si en cours d'essai on cesse de tirer sur l'éprouvette, celle-ci reprend sa longueur initiale. Le point B marque la fin de cette période. L contrainte de traction σ est donnée par :
σ = F / So
L'effort Fe est appelé charge limite d'élasticité. le point x marque la limite d'allongement élastique. La contrainte correspondant à la limite d'élasticité est :
Re ou σe = Fe / So
2°- Dans la zone BCD, on constate une diminution appréciable du diamètre de l'éprouvette. La partie BC correspond à un allongement modéré de l'éprouvette pour un accroissement sensible de la charge. Et à partir du point C, on constate un allongement rapide de l'éprouvette, et la diminution de section devient plus importante lorsque la charge atteint le maximum Fm (point D). Cette zone, c'est la période des déformations permanentes. En effet si on supprime la charge, l'éprouvette ne reprend plus son état initial, elle demeure plus ou moins allongée.
3°- Le point D marque le début de la striction; l'éprouvette dont la section diminue, continue de s'allonger, alors que la charge décroit, jusqu'à la rupture (point E).
La résistance à la rupture Rr est par convention égale à Fm/So
c) Loi de Hook - Module d'élasticité longitudinale :
En un point d'une section droite on définit : σ = F / So , contrainte normale due à l'effort de traction F.
Ɛ = Δl/Δlo allongement relatif longitudinal (ou allongement unitaire).
Dans le diagramme σ=f(Ɛ), on constate que dans la zone d'élasticité il y a une proportionnalité entre entre la contrainte normale (σ) et l'allongement relatif (Ɛ)
on écrit :
σ = E.Ɛ
Le coefficient de proportionnalité E s'appelle Module de young, ou module d'élasticité longitudinale, il caractérise le matériau.
Cette relation constitue la loi de Hook. E est exprimé en N/mm² ou en kbars.
II) Flexion plane simple :
1) Définition :
Une poutre est sollicitée à la flexion plane simple lorsqu'elle est soumise à un système de forces coplanaires perpendiculaires à la ligne moyenne, et dont le plan est confondu avec le plan de symétrie de la poutre.
La poutre se déforme dans le plan des forces en fléchissant.
2) Effort tranchant et moment fléchissant :
Soit une poutre reposant sur deux appuis simples A et B et supportant des charges P1, P2, P3 et P4 agissant dans son plan de symétrie.
Considérons une section droite S de cette poutre :
* On appelle effort tranchant dans la section S, la somme algébrique de toutes les forces situées à gauche de cette section (noté : T).
On a :
T = -RA + P1 + P2
* On appelle moment fléchissant dans la section S, la somme algébrique des moments par rapport à l'axe Gz , des forces situées à gauche de cette section (noté : Mf).
On a :
Mf = RA.x - P1.(x-l1) - P2.(x-l2)
Remarques : En comparant les expressions de T et celles de Mf, on constate que :
3) Étude des déformations :
Soit une poutre simple reposant sur deux appuis A et B, et chargée dans son plan de symétrie. Sous l'action de la charge, la poutre fléchit.
Le déplacement vertical d'un point quelconque est appelé flèche en ce point.
On constate que les fibres de la poutre, situées au dessus de la ligne moyenne se sont raccourcies, et que les fibres situées au dessous de la ligne moyenne se sont allongées.
Il y a donc deux sollicitations :
* Une sollicitation de compression pour les fibres au dessus de xx',
* Une sollicitation de traction pour les fibres située au dessous de xx'.
La ligne xx' appelée Fibre neutre n'est ni tendu, ni comprimée.
L'intersection du plan neutre (plan horizontal contenant la fibre neutre avec une section droite est appelée Axe neutre.
4) Hypothèse de Navier Bernoulli :
Au cours de la déformation élastique de flexion, les sections droites restent planes, et perpendiculaire à la fibre neutre
5) Contrainte normale σ dans une poutre fléchie :
Considérons une poutre sur deux appuis A et B, chargée de deux forces P1 et P2
Considérons deux sections S et S1 distantes de dx. Après déformations S1 vient en S1' après avoir tourné d'un angle dQ par rapport à S. Toute fibre Cf située en dessous de GG1 s'est allongée de ff' = ydQ (car dQ = tg dQ en rad lorsque dQ est très petit).
Et toute fibre ab située en dessus de GG1 s'est raccourcie de hb' = y'.dQ
Donc, pour la fibre Cf :
On sait que :
De même pour la fibre ab :
